Подпрограмма "Фракталы в матрице квантовых измерений".

Понятие « фрактал » возникло при изучении хаотических режимов, связанных с нелинейными средами. Процессы в нелинейных средах, как правило, описываются бесконечномерными системами , поэтому, как указывается в [1], важно выяснить, сколько и каких переменных необходимо измерить, как часто производить измерения и как обрабатывать их результаты. Классический пример фрактального множества [2] — канторово множество, образуемое путем последовательного исключения интервалов из отрезка единичной длины. Фрактал в виде канторова множества образуется в процессе измерений в соответствии с динамической моделью [3,4].

Данное выражение задает меру всех исключенных частей отрезка на каждом этапе построения канторова множества (рис.), если исключаемая часть отрезка (ширина “окна”) равна 1- b , где 0< b <1 при N=0,1,2,... . Фрактальная размерность такого множества равна

,

где на N-м этапе образуется отрезков длиной [1].

На рисунке показаны четыре первых этапа построения фрактального множества из бесконечной последовательности этапов (сравнений). Суммы длин отрезков при каждом значении N соответствуют вероятностям состояний . При измерении значений L>0 мера исключенных средних частей отрезков на каждом этапе сравнения равна вероятности ошибки первого рода a , если N < L , и равна 1 - b , если N >= L.

Литература

• Ахромеева Т.С., Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г, Самарский А.А. Нестационарные структуры и диффузионный хаос. - М.:Наука, 1992.-544 с.
• Колмогоров А.Н., Фомин С.В.- Элементы теории функций и функционального анализа.-М.: Наука, Гл.ред.физ.-мат.лит., 1972.
• Чернышев С.Л., Чернышев Л.С. Логика окружающей среды.- М.«Радиопромышленность», произв.-техн. сб, Под ред. С.А.Муравьева,Специальный выпуск, 2001.
• Чернышев С.Л. Квантовый анализ атомных структур на основе четырехзначной логики измерений// Нелинейный мир, 2006, №10.