В 2020 - 2021 годах начался новый 25-й цикл солнечной активности. Ожидается, что солнечная активность в 25-м цикле будет ниже, чем в 24-м. [1], в котором среднее значение чисел Вольфа в максимуме не превышало 87 Hathaway D.H. (2015) [2]. Прогнозированию ионосферы, солнечной активности, и ,в частности, начинающемуся 25-го циклу солнечной активности посвящены работы: Zolesi B., Cander L.,R. (2014) [3], Брюссельского королевского общества WDC-SILSO,( 2020) [4], Svalgaard L and Hansen W.W. (2013) [5], Деминова М.Г., Обридко В.Н. и др. (2016) [6], Kitiashvili, I. N (2016) [7]. Все перечисленные прогнозы относятся к модельным прогнозам, точность которых, кроме экспериментальных данных, определяется адекватностью и полнотой математических моделей физических процессов.
В настоящей работе предложен метод экстраполяции, разработанный на основе принципа демодуляции, спектрального анализа и цифровой фильтрации, применяемой к рядам экспериментальных данных. Следует отметить, что экспериментальные данные известны только до настоящего момента времени, а прогноз – это преодоление разрыва в наборе наших данных. С точки зрения математики задача прогноза сводится к экстраполяции разрывных функций, что приводит к явлению Гиббса, возникающему в точке разрыва, и делающему прогноз в будущее невозможным. Именно по этому, чтобы преодолеть этот разрыв и используют дополнительные, физически обоснованные модели, характеризующие хотя бы частично прогнозируемый процесс, допуская заранее возможные ошибки в прогнозе, как плату за преодоление разрыва между настоящим и будущим, понимая, что процесс непрерывный.
Числа Вольфа, излучение в полосе F10,7см, солнечный ультрафиолет и другие измеряемые характеристики, отражающие процессы на Солнце, имеют очень сложный спектральный состав. Исследование отдельных составляющих этих процессов возможно с помощью разложения сложного процесса на отдельные составляющие рядами Фурье. Расчет коэффициентов разложения при использовании методов корреляционного анализа является источником ошибок при прогнозировании методами статистики [7, 11]. Чтобы избежать подобных ошибок авторами была разработана оригинальная методика прогноза с использованием рядов Фурье, цифровой фильтрации с помощью фильтров Чебышева и представлением сложного процесса как модулированного и последующей его демодуляцией [10-16]. Солнце по характеру излучения вносит в данные наблюдения существенную стохастическую составляющую. При построении алгоритмов прогнозирования будем опираться на методы экстраполяции и формулу Тейлора, рассматривая её как алгоритм экстраполяции [10-16]. Условия разложения функции в ряд Тейлора - это условия прогнозируемости процесса: «процесс прогнозируем, если он непрерывен и имеет непрерывные производные n-го порядка», или процесс прогнозируем, если он имеет ограниченный спектр [10-16]. Фильтры Чебышева формируют совместно с введением выделяющей функции, модулированный сигнал с ограниченным спектром, другими словами, модель экспериментальных данных представима в виде произведения бесконечного процесса на дискретную во времени единичную прямоугольную (выделяющую) функцию. Эта функция определяет длительность выбранного отрезка измеренного физического процесса. Для проведения демодуляции воспользуемся тригонометрическим тождеством произведения двух ограниченных по спектру функций. Для этого построим выделяющую функцию, ограниченную по спектру, чтобы получить симметричный спектр модели экспериментальных данных. Условие прогнозируемости физического процесса формулируется так: «если известно произведение двух ограниченных по спектру функций, которое имеет симметричный ограниченный спектр, а также известна одна из ограниченных по спектру функций, то неизвестная функция, ограниченная по спектру, может быть получены путем деления произведения на известный сомножитель» [13-16].
Для получения ограниченной по спектру функции разработан цифровой фильтр с частотной характеристикой «исправленного непрерывного осреднения» (ИНО), представляющий собой последовательное применение двух фильтров: арифметического непрерывного осреднения и идеального фильтра низких частот. В качестве такого фильтра примем чебышевский фильтр, обладающий существенными преимуществами по сравнению с широко используемыми в геофизике цифровыми фильтрами арифметического непрерывного осреднения или медианными.
Полученные авторами алгоритмы обработки данных положены в основу программного обеспечения прогнозирования ионосферной [3, 8] и солнечной активности.
Алгоритм восстановления позволяет определить вклад отдельного отсчета в спектр процесса и в восстанавливаемую непрерывную функцию. Погрешность восстановления зависит от частоты исходного процесса. Предельная круговая частота исходного процесса находится из условия касания главного лепестка границы «окна».
Выделение характерных для исследуемого процесса спектральных диапазонов проводится с помощью методов последовательной цифровой фильтрации. Число цифровых фильтров низких частот может доходить до 4–6 каскадов. При последовательной фильтрации проводится сжатие информации в соответствии с частотой среза цифрового фильтра. Например, при выделении одиннадцатилетних циклов солнечной активности приходится сжимать информацию в 160 раз. При такой схеме обработки прогнозирование начинается с ультранизкочастотной составляющей, последовательно переходя на диапазоны более высоких частот. Поэтому прогноз одиннадцатилетней и медленноменяющейся (вековой) составляющей солнечной активности может быть получен с большей точностью.Описанным методом проводился анализ вариаций циклов солнечной активности (ежедневных данных чисел Вольфа с 1818 года до 1 сентября 2021 года). Получен прогноз чисел Вольфа на ближайшие 1-2 года, а также низкочастотной составляющей на период полного солнечного цикла. Согласно полученному прогнозу максимум солнечной активности со среднем значением не выше 100 ожидается в 2025 году, а период 25 цикла, начинающегося 1 января 2020 года, продлится 12,5 лет. Полученные нами данные находятся в согласии с прогнозами других исследователей [1,2,4-7],проводимыми в основном методами корреляционного анализа и моделирования.
Метод спектрального анализа, демодуляции и чебышевской фильтрации может быть использован для оперативного прогноза солнечной и ионосферной активности[3, 8-10].

Благодарности. Авторы выражают свою искреннюю благодарность доктору физико-математических наук М.Г. Деминову за полезные советы и любезно предоставленную информацию, а также кандидату физико-математических наук А. А. Абунину за своевременно выданные данные солнечной активности, которые мы использовали в этой работе.